Consistencia de estimadores de verosimilitud máxima bajo supuestos de continuidad.

Abstract

"En este capítulo se establece el principal resultado de este trabajo, a saber, la consistencia de los estimadores de verosimilitud máxima bajo condiciones de continuidad respecto al parámetro de la función de densidad. Estas condi¬ciones no involucran diferenciabilidad, y por lo tanto son más déblies que las condiciones de regularidad usuales. Por otro lado, es un hecho conocido que una función puede no tener un maximizador si no se imponen condiciones sobre su dominio. Para una función L definida en un subconjunto de 1Rn , una condición necesaria para que L tenga maximizador es que su dominio sea compacto, es decir, que sea cerrado y acotado, y se supondrá la com¬pacidad del espacio de parámetros. El resultado principal de este trabajo se formula en el Teorema 3.3.1, y la estrategia para demostrarlo se basa en tres resultados fundamentales: (i) La ley de los grandes números, la cual establece que el promedio muestral de variables aleatorias independientes con distribución común converge con probabilidad 1 hacia la media poblacional; vea la formulación presisa en el Teorema 2.2.2 del Capítulo 2. (ii) La desigualdad de Jensen, la cual relaciona las ideas de esperanza y de función cóncava; particularmente, se usará el resultado sobre el valor esperado del logaritmo de un cociente de densidades en Ejemplo 2.3.1. (iii) El teorema de Heine-Borel, también llamado el teorema de subcubiertas finitas para conjuntos compactos. Este resultado es una propiedad funda¬mental del sistema de números reales y será formalmente establecido en este capítulo. La organización del material del capítulo es la sigiente: En la Sección 2 se introducen los supuestos de continuidad y compacidad bajo los cuales se analizará la consistencia de los estimadores de verosimilitud máxima; además se incluyen dos ejemplos para ilustrar la verificación de las hipótesis en dos casos comunes en las aplicaciones. En uno de los ejemplos, las condiciones usuales de diferenciabilidad no se satisfacen. En la Sección 3 se establece el resultado de consistencia en el Teorema 3.3.1, mientras que la demostración se presenta en la Sección 4."